피쉬 수

1. 자연수-함수쌍에서 자연수-함수쌍으로의 사상 $S$($S$변환)를 아래와 같이 정의한다.
   $S : [m, f(x$ to [g(m), g(x)])]
   단 $g(x)$는 아래와 같이 정의된다.
   $B(0, n) = f(n)$
   $B(m+1, 0) = B(m, 1)$
   $B(m+1, n+1) = B(m, B(m+1, n))$
   $g(x) = B(x, x)$
2. 자연수-함수-$S$변환쌍에서 자연수-함수-$S$변환쌍으로의 사상 $SS$를 아래와 같이 정의한다.
   $SS : [m, f(x), S] \to [n, g(x), S2]$
   단 $S2$와 $n, g(x)$는 순서대로 아래와 같이 정의된다.
   $S2 = S^{f(m)}$
   $S2 : [m, f(x$ to [n, g(x)])]
3. $[3, x+1, S]$에 $SS$ 변환을 63번 반복하여 얻은 자연수를 피쉬 수($F_1$), 함수를 피쉬 함수($F_1(x)$)라 한다.

• $B(0, n) = f(n)$
• $B(m, 0) = B(m-1, 1)$
• $B(m, n) = B(m-1, B(m-1,\ ...\ B(m-1, 1)\ ...\ ))$ (n+1번 중첩)

• $m=0$이면 $B(0, n)$은 ($n$의 값에 상관없이) $f(n)$의 값을 갖는다.
• $B(x, n)=B(x-1, B(x-1,\ ...\ B(x-1, 1)\ ...\ ))$이므로 $m=x-1$일 때 함숫값을 갖는다면 $m=x$일 때도 함숫값을 갖는다.

• 자연수와 함수의 쌍 $[m, f(x$)]를 준비한다.
• 주어진 함수 $f(x)$로 $g(x)=B(x, x)$를 정의한다.
• 정의한 함수 $g(x)$로 $g(m)$을 계산한다.
• 위에서 계산하고 정의한 자연수와 함수의 쌍 $[g(m), g(x$)]가 변환 결과이다.

• 자연수, 함수, S변환의 쌍 $[m, f(x), S]$를 준비한다.
• 새로운 변환 $S2$를 '변환 $S$를 $f(m)$번 반복하는 것'으로 정의한다.
• 주어진 자연수와 함수의 쌍 $[m, f(x$)]에 방금 정의한 변환 $S2$를 가해서 새로운 쌍 $[n, g(x$)]를 얻는다.
• 위에서 계산하고 정의한 자연수, 함수, S변환의 쌍 $[n, g(x), S2]$가 변환 결과이다.

• 1번째 피쉬 수(Fish number 1): 이 문서의 정의~SS변환까지에서 다루고 있는 피쉬 수. Fast-growing hierarchy로 나타내면 $f_{\omega^2+1}(63)$ 정도의 값이 나온다.
• 2번째 피쉬 수(Fish number 2): 위의 1번째 피쉬 수와 마찬가지로 2002년경에 나온 피쉬 수. 1번째 피쉬 수와 정의는 매우 비슷하나(초반은 아예 같다!), 약간의 차이가 있어 1번째 것보다는 값이 약간(?) 더 크게 나온다. Fast-growing hierarchy로 나타내면 $f_{\omega^3}(63)$ 정도의 값이 나온다.
• 3번째 피쉬 수(Fish number 3): 2002년경에 나온 피쉬 수.Fast-growing hierarchy로 나타내면 $f_{\omega^{\omega+1}63+1}(63)$ 정도의 값이 나온다.
• 4번째 피쉬 수(Fish number 4): 2002년경에 나온 피쉬 수. 2번째로 큰 피쉬 수이며, 튜링 머신을 사용하여 크기가 이전보다 비약적으로 상승하였다.[3] 7번째 피쉬 수처럼 너무 커서 정확한 값을 계산하기는 어렵다.
• 5번째 피쉬 수(Fish number 5): 2003년경에 나온 피쉬 수.Fast-growing hierarchy로 나타내면 $f_{\epsilon_0+1}(63)$ 정도의 값이 나온다.
• 6번째 피쉬 수(Fish number 6): 2007년경에 나온 피쉬 수. Fast-growing hierarchy로 나타내면 $f_{\zeta_0+1}(63)$ 정도의 값이 나온다
• 7번째 피쉬 수(Fish number 7): 2013년에 나온 가장 큰 피쉬 수.

• 그레이엄 수
• 큰 수
• 빅풋(수)
• Googology Wiki의 Fish numbers 문서, Fish number 1 문서